Matematika adalah salah satu mata pelajaran yang sering dianggap sulit oleh sebagian besar siswa. Namun, jika kita berlatih dan memahami konsepnya dengan baik, maka kita dapat memecahkan setiap masalah matematika dengan mudah. Untuk membantu siswa dalam mempersiapkan diri untuk ujian PAS, berikut adalah beberapa contoh soal matematika kelas 12 semester 2 beserta jawabannya.
Contoh Soal 1
Tentukanlah nilai dari log327.
Jawaban:
Kita dapat menulis 27 sebagai pangkat dari 3, yaitu 33. Oleh karena itu, log327 = 3.
Contoh Soal 2
Sebuah bola dilemparkan ke atas dengan kecepatan awal 20 m/s. Hitunglah waktu yang dibutuhkan bola untuk mencapai ketinggian maksimum.
Jawaban:
Ketinggian maksimum dapat dicapai ketika kecepatan bola sama dengan nol. Oleh karena itu, kita dapat menggunakan persamaan: v = u + at, dimana v = 0, u = 20 m/s, dan a = -9,8 m/s2. Maka, waktu yang dibutuhkan bola untuk mencapai ketinggian maksimum adalah t = u/a = 2,04 s.
Contoh Soal 3
Tentukanlah nilai dari fungsi f(x) = x2 – 4x + 3 pada titik x = 2.
Jawaban:
Kita dapat mengganti x dengan 2 dalam fungsi f(x), sehingga f(2) = 22 – 4(2) + 3 = 3.
Contoh Soal 4
Hitunglah luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini.
Jawaban:
Luas total segitiga adalah 1/2 x 6 x 8 = 24. Luas total trapesium adalah 1/2 x (12 + 8) x 4 = 40. Oleh karena itu, luas daerah yang diarsir adalah 40 – 24 = 16.
Contoh Soal 5
Sebuah kubus memiliki volume 125 cm3. Hitunglah panjang sisi kubus tersebut.
Jawaban:
Volume kubus dapat dihitung dengan rumus V = s3, dimana s adalah panjang sisi kubus. Oleh karena itu, s = ∛125 = 5 cm.
Contoh Soal 6
Selesaikan persamaan trigonometri 2sin2x + 3sin x – 1 = 0 dalam interval 0° ≤ x ≤ 360°.
Jawaban:
Kita dapat menggunakan substitusi y = sin x, sehingga persamaan menjadi 2y2 + 3y – 1 = 0. Kemudian, kita dapat menggunakan rumus kuadrat untuk menyelesaikan persamaan tersebut, yaitu: y = (-3 ± √17)/4. Karena interval yang diberikan adalah 0° ≤ x ≤ 360°, maka solusi persamaan adalah x = 36,87°, 143,13°, 216,87°, dan 323,13°.
Contoh Soal 7
Sebuah roda berputar dengan kecepatan sudut 4 rad/s. Hitunglah kecepatan linear titik pada jari-jari roda yang berjarak 30 cm dari pusat.
Jawaban:
Kecepatan linear dapat dihitung dengan rumus v = rω, dimana r adalah jari-jari roda dan ω adalah kecepatan sudut roda. Oleh karena itu, v = 30 x 4 = 120 cm/s.
Contoh Soal 8
Tentukanlah nilai dari limx→2(x2 – 3x + 2)/(x2 – 5x + 6).
Jawaban:
Jika kita substitusi x dengan 2, maka kita akan mendapatkan bentuk 0/0. Oleh karena itu, kita dapat menggunakan aturan L’Hopital, yaitu:
limx→2(x2 – 3x + 2)/(x2 – 5x + 6) = limx→22x – 3/2x – 5 = -1/3.
Contoh Soal 9
Tentukanlah turunan dari fungsi f(x) = 2x3 + 5x2 – 3x + 1.
Jawaban:
Turunan dari f(x) dapat dihitung dengan menggunakan aturan turunan, yaitu:
f'(x) = 6x2 + 10x – 3.
Contoh Soal 10
Sebuah mobil melakukan perjalanan dari kota A ke kota B yang berjarak 120 km dalam waktu 2 jam. Hitunglah kecepatan rata-rata mobil.
Jawaban:
Kecepatan rata-rata dapat dihitung dengan rumus v = s/t, dimana s adalah jarak yang ditempuh dan t adalah waktu tempuh. Oleh karena itu, kecepatan rata-rata mobil adalah v = 120/2 = 60 km/jam.
Contoh Soal 11
Tentukanlah nilai dari sin 150°.
Jawaban:
150° merupakan sudut di kuadran II, sehingga sin 150° = sin (180° – 30°) = sin 30° = 1/2.
Contoh Soal 12
Sebuah segitiga memiliki sudut-sudut 60°, 70°, dan 50°. Hitunglah panjang sisi yang bersebrangan dengan sudut 70° jika panjang sisi yang bersebrangan dengan sudut 50° adalah 8 cm.
Jawaban:
Kita dapat menggunakan hukum sinus untuk menyelesaikan masalah ini, yaitu:
8/sin 50° = x/sin 70°
Maka, x = 8 x sin 70°/sin 50° = 9,51 cm.
Contoh Soal 13
Tentukanlah nilai dari cos245° – sin245°.
Jawaban:
Kita dapat menggunakan rumus identitas trigonometri, yaitu cos2θ – sin2θ = cos 2θ, dimana θ = 45°. Oleh karena itu, cos245° – sin245° = cos 90° = 0.
Contoh Soal 14
Sebuah kotak memiliki panjang 6 cm, lebar 4 cm, dan tinggi 5 cm. Hitunglah luas permukaan kotak tersebut.
Jawaban:
Luas permukaan kotak dapat dihitung dengan rumus L = 2(pl + pw + lh), dimana p, l, dan h adalah panjang, lebar, dan tinggi kotak. Oleh karena itu, luas permukaan kotak adalah L = 2(6×4 + 4×5 + 5×6) = 148 cm2.
Contoh Soal 15
Tentukanlah nilai dari log464.
Jawaban:
Kita dapat menulis 64 sebagai pangkat dari 4, yaitu 43. Oleh karena itu, log464 = 3.
Contoh Soal 16
Sebuah tabung memiliki jari-jari 5 cm dan tinggi 10 cm. Hitunglah volume tabung tersebut.
Jawaban:
Volume tabung dapat dihitung dengan rumus V = πr2h, dimana r adalah jari-jari tabung dan h adalah tinggi tabung. Oleh karena itu, volume tabung adalah V = π x 52 x 10 = 785,4 cm3.
Contoh Soal 17
Tentukanlah nilai dari limx→5(x2 – 25)/(x – 5).
Jawaban:
Jika kita substitusi x dengan 5, maka kita akan mendapatkan bentuk 0/0. Oleh karena itu, kita dapat menggunakan aturan L’Hopital, yaitu:
limx→5(x2 – 25)/(x – 5) = limx→52x/1 = 10.
Contoh Soal 18
Tentukanlah nilai dari tan 135°.
Jawaban:
135° merupakan sudut di kuadran III, sehingga tan 135° = tan (180° + 45°) = tan 45° = 1.
Contoh Soal 19
Tentukanlah turunan dari fungsi f(x) = 3x4 – 2x2 + 5x – 1.
Jawaban:
Turunan dari f(x) dapat dihitung dengan menggunakan aturan turunan, yaitu:
f'(x) = 12x3 – 4x + 5.
Contoh Soal 20
Tentukanlah nilai dari cos 150°.
Jawaban:
150° merupakan sudut di kuadran II, sehingga cos 150° = -cos (180° – 30°) = -cos 30° = -√3/2.
Contoh Soal 21
Sebuah segitiga ABC memiliki sudut-sudut 60°, 70°, dan 50°. Hitunglah panjang sisi AC jika sisi AB = 10 cm dan sisi BC = 12 cm.
Jawaban:
Kita dapat menggunakan hukum kosinus untuk menyelesaikan masalah ini, yaitu:
AC2 = AB2 + BC2 – 2ABxBC cos θ, dimana θ adalah sudut yang bersebrangan dengan sisi AC. Oleh karena itu, AC = √(102 + 122 – 2x10x12 cos 50°) = 12,78 cm.
Contoh Soal 22
Tentukanlah nilai dari sin230° + cos230°.
Jawaban:
Kita dapat menggunakan rumus ident
